چگونگی پیدا کردن برد توابع

تعریف برد و توضیحات مهم در این زمینه:

اگر برد تابع حقیقی f به طور صریح داده نشده و تنها ضابطه ی آن در دست باشد، منظور ما از جمله ی «برد تابع f را بیابید»، عبارت است از

«یافتن همه ی خروجی های (f(x که در اینجا x عضوی از دامنه ی f است»، به طور دقیق تر برای محاسبه ی برد تابع f باید مجموعه یرا محاسبه کنیم.

این تعریف نیز همانند تعریف دامنه، بسیار کلی است و قانونی همیشگی برای محاسبه ی برد همه ی توابع وجود ندارد. معمولاً یافتن برد یک تابع، حتی از محاسبه ی دامنه ی آن نیز مشکلتر است و گاهی احتیاج به محاسبات طولانی و نیز داشتن تجربه ی کافی در استفاده از قضایا و فرمولهای ریاضی دارد. ما فقط به چند مثال کلی بسنده می کنیم.

نکات اصلی:
برد توابع چند جمله ای درجه ی 2:

برای یافتن برد تابع (که x عددی حقیقی و a عددی مخالف صفر است)، کافی است عرض راس سهمی را به دست بیاوریم.می توان ثابت کرد که این عدد برابر است با (ثابت کنید). اگر آنگاه و اگر آنگاه . به تصاویر زیر توجه کنید:



به طور مثال برد تابع برابر است با زیرا با توجه به نکات بالا .
توابع چند جمله ای درجه ی فرد:

اگر دامنه ی توابع چند جمله ای درجه ی فرد را R در نظر بگیریم (نه دامنه ای محدود)، آنگاه می توان ثابت کرد که برد نیز R است. (در واقع علت اصلی آن پیوستگی این توابع است که بعدها در دوره ی پیش دانشگاهی به وسیله ی قضیه ی مقدار میانگین اثبات می شود.) به عنوان مثال برد تابع برابر است با R .

توابعی که می توان به وسیله ی آنها x را بر حسب y محاسبه کرد:

فرض کنید تابع (y=f(x را بتوان به صورت(x=g(y نوشت؛ یعنی x را بر حسب y محاسبه کرد. در اینصورت دامنه ی تابع جدید، برد تابع اصلی است. به مثالهای زیر توجه کنید:

الف) برای یافتن برد تابع f با ضابطه ی اعمال زیر را انجام می دهیم:


بنابر این .

به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :



نکته: با همین روش ثابت کنید که اگر ، آنگاه .

ب) برد تابع

ابتدا توجه کنید که . (دقت کنید که اگر قرار دهیم ، آنگاه y=0.) می توان نوشت: . در نتیجه . چون دامنه ی تابع برابر است با R و چون ، بنابر این برد تابع با برابر خواهد بود.

به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :



ج) برد تابع

باتوجه به این نکته که طرفین مثبت هستند، می توان نوشت:



در عبارت آخر، زیر رادیکال باید نامنفی باشد و لذا . اما y>0 ، در نتیجه برد تابع f برابر است با .

به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :



د) برد تابع

روش اول:

به عبارت زیر توجه کنید:


عبارت سمت راست یک معادله درجه ی 2 بر حسب x است. حال با توجه به دلتای این معادله، برای اینکه این معادله جواب داشته باشد باید و لذا ؛ در نتیجه خواهیم داشت: . (توجه کنید که اگر x=-1 آنگاه y=1 و اگر x=1 آنگاه y=-1.)

روش دوم:

با استفاده از اتحاد مربع دوجمله ای، می توان ثابت کرد که


بنابر این و لذا .

به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :




ه) برد تابع

می توان نوشت:


عبارت آخر یک معادله درجه ی 2 بر حسب x است. حال با توجه به دلتای این معادله، برای اینکه این معادله جواب داشته باشد باید . بنابراین خواهیم داشت: . (روش دیگر برای پیدا کردن برد این تابع، استفاده از مشتق است که به آن نمی پردازیم.)

به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :



نکته: مطلب بالا نشان می دهد که کمترین مقدار خروجی این تابع برابر است با . توجه کنید که اگر ، آنگاه .

توابع مثلثاتی:

برد توابع (sin(x و (cos(x برابر است با و برد توابع (tan(x و (cot(x برابر است با R. (چرا؟)

به مثالهای زیر توجه کنید:

الف) برد تابع

می توان نوشت: . چون بنابر این و در نتیجه برای هر خواهیم داشت ، پس .

ب) برد تابع

در بخشهای بعدی حسابان خواهید دید که . اما بنابر نکته ی 4 می توان نوشت: ، در نتیجه ، پس . (توجه کنید که در این مثال و بعضی مثالهای بالا، به طور مخفیانه از قضیه ی مقدار میانگین استفاده شده است که این قضیه را در پیش دانشگاهی خواهید دید.)

نکته ی مهم: ممکن است بعضی از دانش آموزان اینگونه استدلال کنند که چون و ، بنابر این و در نتیجه .
این استدلال درست نیست، زیرا برای هیچ x ی برابر با 2 یا 2- نیست و لذا (دقت کنید)! در واقع به وسیله ی استدلال بالا فقط می توان نتیجه گرفت که. همین ریزه کاریهاست که محاسبه ی برد بعضی از توابع را مشکل می کند.

تابع جزءصحیح:

برد تابع جزءصحیح برابراست با . در حالت کلی برد تابع زیر مجموعه ای از است؛ اما فرمولی کلی برای محاسبه ی برد اینگونه توابع وجود ندارد.

به مثالهای زیر توجه کنید:

الف) برد تابع

صورت و مخرج کسر همواره مثبت و صورت کسر از مخرج آن کمتر است. بنابر این و درنتیجه بنابر خواص جزءصحیح برای هر ، 0=(f(x و لذا باید برد تابع f مجموعه ی تک عنصری {0} باشد.

ب) برد تابع .

می توان دید . چون بنابر این . در نتیجه .

ج) برد تابع

روش محاسبه ی برد این تابع به راحتی به دست نمی آید. برای حدس زدن جواب درست، بد نیست که به شکل متوسل شویم و از آن برای استدلال درست استفاده کنیم.